Можно не без оснований полагать, что перевод в артиллерию совершился не без влияния дяди юного Александра, родного брата его матери, в то время еще полковника артиллерии Дмитрия Петровича Резвого, боевого штаб-офицера, известного проявленной храбростью при штурмах Очакова и Праги (предместья Варшавы). Чина генерал-майора Резвой удостоился в октябре 1799 года за участие в Швейцарском походе великого А.В. Суворова.

Родоначальником дворян Резвых стал дед генерала Терентий, поставлявший ко двору Елизаветы Петровны живых стерлядей. Терентий Резвой переехал в Санкт-Петербург из городка Осташкова Тверской губернии. Его сын Петр, развивая дело отца, стал подрядчиком дворцового ведомства при Екатерине II, торговал гастрономическими товарами и фруктами. Однако Д.П. Резвой изменил семейной традиции, став военным. Рассказы дяди увлекли и племянника на военное поприще, который упросил отца о назначении на службу в артиллерию. Итак, 15-летний полковник Александр Кутайсов начал действительную службу в гвардейской артиллерии адъютантом инспектора всей артиллерии и командира артиллерийского батальона генерал-лейтенанта А.А. Аракчеева.

Прекрасно сознавая свои весьма слабые познания в военном деле вообще и в артиллерии в частности, молодой полковник все свободное время отдавал самообразованию. Талантливый и любознательный от природы он с интересом изучал артиллерийскую науку и практику. Недюженные способности позволили ему быстро освоить профессиональные знания и стать вполне достойным занимаемой должности при таком строгом и требовательном к службе начальнике, каким являлся Аракчеев. В период опалы Аракчеева с октября 1799 по май 1803 года А.И. Кутайсов оставался адъютантом у нового инспектора артиллерии генерала от артиллерии А.И. Корсакова.